3 Méthodes de construction des espaces de texture prétopologique :

Pour définir l'organisation structuro-fonctionnelle d'un ensemble, soit comme espace topologique, ou espace prétopologique, ou espace de texture prétopologique, plusieurs chemins peuvent être suivis suivant l'objectif et les moyens utilisés :

- L'état de fait : par connaissance, par vérification ou par définition, les éléments de l'ensemble possèdent les propriétés qui définissent l'organisation de l'ensemble.

- L'état d'observation statique : dans des conditions donnés, l'observateur perçoit des propriétés qui définissent l'organisation de l'ensemble. La délimitation des champs d'observation et des moyens de mesure quantitative ou qualitative, masque, inhibe, dévoile ou stimule les propriétés des éléments qui définissent le type d'espace de représentation.

- Le processus d'observation : l'observateur a des moyens d'action sur l'environnement observé et sur son observation. L'observateur se déplace dans l'environnement et dans les espaces mathématiques par ajout ou retrait de propriétés selon l'existence ou non d'après vérification ou simulation.

Soit une banque de données, fournie par l'observation d'un système complexe, et représentée par un ensemble X de N éléments x_i, points de l'image d'une entité réelle ou abstraite perçue et placée dans l'espace d'informations :

Les points d'une telle image ont des propriétés quantitatives ou qualitatives. Un type de propriété constitue un paramètre de l'image. La propriété elle-même quantifiée donne la valeur de la mesure ou, si elle est numérotée, la valeur du paramètre.

Les paramètres sont indicés suivant les entiers naturels :

J = { 1,2,...,n }, où n est le nombre total de paramètres.

Par exemple, ces paramètres sont temporels (instant, durée) ou spatiaux (lieux, coordonnées, distances, zones, etc.) ou qualitatifs quantifiés (fonctions, critères morphologiques, critères subjectifs, impressions, etc.). Soit un point muni d'une propriété, noté x_ij. Un point de l'image muni de l'ensemble de ses propriétés est un ensemble de points paramétrés :

Un système informatique est capable de mesurer ou de calculer, sur l'image "mentale" de l'environnement réel observé, un ensemble I de paramètres indicés par J. Dans cet ensemble I, il est possible de définir des sous-ensembles I' de paramètres mis en jeu par le système sur une image donnée.

Remarque : le point image x_i est une entité virtuelle ; sa représentation ne peut se faire que par la visualisation du point muni de ses propriétés x_ij, j appartenant à I'.

Soient sur l'ensemble de points paramétrés de l'image, des relations binaires réflexives séparables en deux groupes par leur propriété de transitivité et de non transitivité.

La relation transitive positionne de façon générale les éléments x_ij de X en relation avec un élément x_kj donné quand ce dernier parcourt X :

La propriété de transitivité donne une PERCEPTION GLOBALE de la relation entre les éléments de l'ensemble X. En effet xij en relation avec xkj peut être n'importe quel élément de X. La relation concerne le même type de propriété j pour les deux éléments. C'est une mesure relationnelle absolue car elle positionne des points par rapport à chaque autre point pris pour référence absolue pour lui donner une propriété. C'est donc une relation d'état.

La relation non transitive positionne de façon particulière les éléments x_ab de X par rapport à un élément x_cd parcourant X.

La propriété de non transitivité donne une PERCEPTION LOCALE de la relation entre les éléments de l'ensemble X. En effet x_ab en relation avec x_cd lui est associé pour donner la propriété d.

C'est une mesure relationnelle relative. Elle positionne un point de X avec chaque autre point pris pour référence relative en lui donnant une propriété. C'est une relation de transition d'états.

Les relations forment des partitions telles que :

Ainsi les éléments de la partition P(s) pour le type de propriété s (ou paramètre) sont les sous-ensembles P(s,r) de X des éléments xi prenant la propriété r (valeur du paramètre).

La composition de deux relations (par exemple R₁ et R₃) forme des sous ensembles W((s,r),(t,u)) de X, qui possèdent les deux propriétés :

et constituent la famille des éléments de texture :

Pour comparer les éléments de texture, une distance exprime la différence entre deux éléments comme suit :

Les éléments de texture étant comparable, la séparation en sous-ensembles est créée par une frontière définie par la distance : les éléments dont la distance est inférieure ou égale à un, font partie d'un même ensemble. Les sous-ensembles créés ont des éléments possédant soit une relation commune (transitive ou non transitive) soit les deux et caractérisent par conséquent l'interférence relationnelle.

Chaque sous-ensembles correspond à une boule centrée sur un élément de texture et de rayon 1 :

Pour chaque élément de texture, définissons une famille de sous-ensembles par :

Cette famille V(W((s,r),(t,u))) valide les quatre axiomes définissant une prétopologie sur l'ensemble des éléments de texture.

Dans un espace de texture prétopologique, qui est un espace prétopologique, il est possible de définir le même type d'ensembles particuliers que pour les espaces topologiques.

Soit A un sous-ensemble de X. Le nombre d'éléments de A est son cardinal. L'ensemble X représente un ensemble W(s,t) d'éléments de texture. Donc x est un élément W((s,r),(t,u)) et y un élément W((s,v),(t,w)). Le sous-ensemble A de X représente un des sous-ensembles Ai de W(s,t). Dans les exemples, les sous-ensembles Ai sont définis par la relation transitive du fait de ses propriétés (mesure absolue, perception globale à fonction intégrante).

Un élément x de X est dit adhérent selon P à A inclus dans X, si il existe un sous ensemble W appartenant à V(x) tel que son intersection avec A soit non vide. L'ensemble des éléments adhérents à A selon P s'appelle Adhérence de A selon P, notée :

Le nombre d'éléments de Adh(A) est le cardinal d'Adhérence.

Un élément x de X est dit intérieur selon P à A inclus dans X, si il existe un sous ensemble W appartenant à V(x) qui soit inclus dans A. L'ensemble des éléments intérieurs à A selon P s'appelle Intérieur de A selon P, notée :

Le nombre d'éléments de Int(A) est le cardinal d'Intérieur.

D'autres ensembles particuliers sont différenciables : l'extérieure Ext(A) de A est l'intérieur du complément de A par rapport à X ; la frontière F(A) de A, éléments de l'adhérence de A n'appartenant pas à son intérieur se décompose en deux semi-frontières, intérieure SFI(A) et extérieure SFE(A), suivant que les éléments respectifs appartiennent à A ou au complément de A par rapport à X. Mais trois ensembles particuliers, pour chaque sous-ensemble A, suffisent à décrire la texture de l'ensemble, les autres étant déductibles.

Nous retrouvons les mêmes définitions que les ensembles particuliers topologiques, mais avec une différence fondamentale liée à la prétopologie :

Ces trois familles de cardinaux constituent les descripteurs élémentaires de la texture. Pour obtenir des descripteurs relatifs de la texture, il est possible d'établir des rapports pour chaque sous-ensembles particulier dont celui d'intérieur Ri(A_i) et d'adhérence Ra(A_i) en divisant respectivement les cardinaux d'intérieur et d'adhérence de chaque sous-ensemble A_i par leur cardinal respectif. La description de la texture relative a pour composantes deux rapports prétopologiques et le cardinal pour chaque sous-ensemble, les autres rapports étant déductibles.

Il est possible de construire des ECHELLES DE TEXTURES où chaque analyse de texture représente un DEGRE DE TEXTURE. Les relations binaires non transitives s'y prêtent en raison du type de propriété qu'elles confèrent à un élément en fonction d'un autre. Une relation d'ordre peut classer simplement ces degrés de texture. Mais l'échelle de texture peut être un système complexe organisé (chemin de description, discours, texture). La représentation suivant un ordre des degrés de texture est l'EVOLUTION DE TEXTURES.

Pour chaque espace de texture prétopologique, prenons le triplet des cardinaux (ensemble, intérieur, adhérence) pour tout sous-ensemble d'éléments de texture. Le cardinal du sous-ensemble caractérise son importance absolue en tant qu'objet. Le rapport de ce cardinal sur celui de l'ensemble total caractérise son importance relative en tant qu'objet dans son environnement. Le cardinal de l'intérieur du sous-ensemble caractérise son état d'isolement en tant que partie isolée de l'objet. Le rapport d'intérieur caractérise l'AGREGATION des éléments formant la partie isolée de l'objet par rapport à lui-même. Le cardinal d'adhérence caractérise son état relationnel en tant qu'objet étendu à tous les éléments de l'environnement et de lui-même qui sont en relation avec lui. Le rapport d'adhérence caractérise la DISPERSION de son environnement par rapport à lui-même.